Окружность описанная около треугольника

Окружность, описанная около треугольника, является особым геометрическим объектом, который можно построить, проведя окружность так, чтобы ее центр находился на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника.

Описание окружности вокруг треугольника имеет ряд важных свойств. Во-первых, радиус этой окружности всегда одинаков для всех трех сторон треугольника. Во-вторых, центр описанной окружности всегда лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. И в-третьих, такая окружность проходит через все вершины треугольника.

Формула для нахождения радиуса описанной окружности по сторонам треугольника известна как «теорема описанной окружности». Она утверждает, что радиус описанной окружности равен произведению сторон треугольника, деленному на четыре разности площадей прямоугольников, смежных сторонам треугольника.

R = (a * b * c) / 4 * S

где:

R — радиус описанной окружности,

a, b, c — стороны треугольника,

S — площадь треугольника.

Описанная окружность играет важную роль в геометрии и может быть использована для решения различных задач. Она является ключевым элементом при проведении треугольника, нахождении его центра тяжести, а также при определении углов и сторон треугольника.

Описание окружности описанной около треугольника

Окружность, описанная около треугольника, — это окружность, проходящая через вершины треугольника и имеющая центр, лежащий на перпендикулярной биссектрисе одного из углов треугольника.

Описанная окружность является важным понятием в геометрии и имеет несколько свойств:

  1. Центр описанной окружности треугольника лежит на перпендикулярной биссектрисе одного из углов треугольника.
  2. Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из вершин треугольника.
  3. Длины хорд, проведенных на описанной окружности тем треугольнике, удовлетворяют теореме о прямоугольнике: произведение длин двух перпендикулярных диагоналей равно произведению длин двух хорд, которые делятся их точкой пересечения.

Формула для вычисления радиуса описанной окружности треугольника можно запиcать следующим образом:

Радиус окружности:R = a × b × c / (4 × S)

Где:

  • R — радиус окружности,
  • a, b, c — длины сторон треугольника,
  • S — площадь треугольника.

Зная длины сторон треугольника и площадь, можно легко вычислить радиус описанной окружности.

Свойства окружности, описанной около треугольника

1. Определение:

Окружность, которая проходит через все вершины треугольника, называется описанной около треугольника.

2. Точка пересечения:

Центр описанной около треугольника окружности находится в точке пересечения перпендикуляров, опущенных из середин сторон треугольника.

3. Расстояние от центра до вершин:

Расстояние от центра описанной около треугольника окружности до каждой из вершин равно радиусу окружности.

4. Длина хорд:

Хорда, соединяющая две вершины треугольника и пересекающая описанную около треугольника окружность, делит окружность на две дуги. Длина этих дуг равна полусумме длин двух невключающих хорд.

5. Углы:

Угол, образованный хордой и дугой, равняется половине разности длин двух невключающих хорд.

6. Формула:

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по следующей формуле:

  1. Найдите длины сторон треугольника.
  2. Вычислите площадь треугольника по формуле Герона: $$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$ где $P$ — площадь, $a$, $b$, $c$ — длины сторон, $p$ — полупериметр.
  3. Радиус описанной около треугольника окружности вычисляется по формуле: $$R=\frac{abc}{4P},$$ где $R$ — радиус.

7. Взаимосвязь радиусов:

В описанном и вписанном около треугольника окружностях радиусы связаны соотношением: $$R=\frac{abc}{4P}=2r,$$ где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности, $r$ — радиус вписанной около треугольника окружности.

СвойствоФормула
Периметр треугольника$P=a+b+c$
Полупериметр треугольника$p=\frac{P}{2}$
Площадь треугольника по формуле Герона$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Радиус описанной около треугольника окружности$R=\frac{abc}{4P}$

Формула для вычисления радиуса окружности, описанной около треугольника

Радиус окружности, описанной около треугольника, может быть вычислен с использованием формулы, связанной с длинами сторон треугольника.

Для любого треугольника ABC, где стороны обозначены символами a, b и c, радиус окружности, описанной вокруг треугольника, можно вычислить по формуле:

Формула:R = (a * b * c) / (4 * S)

Где:

  • R — радиус окружности, описанной около треугольника;
  • a, b, c — длины сторон треугольника;
  • S — площадь треугольника.

Площадь треугольника может быть найдена различными способами, такими как формула Герона или используя векторное произведение двух сторон треугольника.

Используя данную формулу, можно вычислить радиус окружности, описанной около треугольника, зная длины его сторон или площадь.

Примеры использования формулы для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника

Формула для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, выражается следующим образом:

Радиус R = (a * b * c) / (4 * S)

Где:

  • a, b, c — длины сторон треугольника;
  • S — площадь треугольника.

Давайте рассмотрим несколько примеров использования этой формулы:

  1. Пример 1:
Сторона aСторона bСторона cПлощадь SРадиус R
815176010

Для треугольника со сторонами a=8, b=15, c=17 и площадью S=60, радиус R равен 10.

  1. Пример 2:
Сторона aСторона bСторона cПлощадь SРадиус R
57817.53.5355

Для треугольника со сторонами a=5, b=7, c=8 и площадью S=17.5, радиус R приблизительно равен 3.5355.

Таким образом, формула для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, позволяет определить длину радиуса по известным данным о сторонах и площади треугольника.

Вопрос-ответ

Что такое окружность, описанная около треугольника?

Окружность, описанная около треугольника, – это окружность, которая проходит через все вершины треугольника.

Как можно найти центр описанной окружности?

Центр описанной окружности находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из середин сторон треугольника.

Как вычислить радиус описанной окружности?

Радиус описанной окружности можно найти по формуле: r = (abc) / (4S), где a, b и c – длины сторон треугольника, а S – его площадь.

Оцените статью
gorodecrf.ru