Степень вершины — это число рёбер, инцидентных данной вершине в графе. Она играет важную роль в теории графов и широко применяется в различных областях, таких как сетевые технологии, социология, биология и многих других.
Когда речь идёт о графе, степень вершины является одним из основных понятий. Вершины с нулевой степенью называются изолированными. Вершины с единичной степенью называются концевыми, а вершины с максимальной степенью — доминирующими.
Свойства степени вершины:
- Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу рёбер.
- Граф с нечётной суммой степеней вершин содержит нечётное число вершин нечётной степени.
- Если в графе имеется вершина максимальной степени, то она не может быть изолированной.
Например, в одном графе все вершины имеют степень 3, а в другом — степень 1, 2, 3 и 4. Это зависит от конкретного графа и его свойств.
Определение степени вершины в графах
Степень вершины в графе — это количество ребер, связанных с данной вершиной. Вершина графа может иметь как исходящие, так и входящие ребра. Степень вершины показывает, насколько вершина связана с остальными вершинами графа.
Степень вершины может быть различной в разных типах графов. В неориентированном графе степень вершины равна количеству ребер, примыкающих к данной вершине. Иными словами, степень вершины — это количество соседей данной вершины.
В ориентированном графе степень вершины делится на входящую и исходящую степень. Входящая степень вершины — это количество ребер, которые входят в данную вершину. Исходящая степень вершины — это количество ребер, исходящих из данной вершины.
Степень вершины может быть представлена численно. Обозначается символом «d». Например, если степень вершины равна 3, то она имеет три ребра, связанных с ней.
Степень вершины влияет на связность графа. В графе, где все вершины имеют одинаковую степень, такой граф называется регулярным.
Степень вершины также важна для определения центральности вершины в графах. Центральность вершины может быть измерена на основе ее степени и других параметров графа.
Ниже приведены основные свойства степени вершины в графах:
- Степень вершины всегда неотрицательная и целая.
- В неориентированном связном графе существует хотя бы одна вершина, у которой степень не меньше, чем (n-1), где n — количество вершин в графе.
- Сумма степеней всех вершин ориентированного графа равна количеству ребер в графе.
Свойства степени вершины
Степень вершины — это число ребер, инцидентных данной вершине. Заметим, что для неориентированного графа степень вершины также равна количеству смежных вершин.
Свойства степени вершины:
- Ориентированный граф: в ориентированном графе степень вершины может быть разной для входящих и исходящих ребер.
- Неориентированный граф: в неориентированном графе степень вершины равна количеству смежных вершин.
- Граф без петель: степень любой вершины в графе без петель равна количеству связанных с ней ребер.
- Граф без кратных ребер: степень вершины в графе без кратных ребер равна количеству ребер, инцидентных данной вершине.
- Сумма степеней всех вершин: в неориентированном графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству ребер.
В таблице ниже приведены примеры степеней вершин в различных графах:
| Граф | Степень вершин |
|---|---|
 |
|
 |
|
Примеры степени вершины
Рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять, что такое степень вершины в графе:
Пример 1:
Дан граф с четырьмя вершинами:
Вершина A имеет степень 2, так как из неё выходит два ребра (соединяется с вершинами B и C).
Вершина B имеет степень 3, так как из неё выходит три ребра (соединяется с вершинами A, C и D).
Вершина C имеет степень 2, так как из неё выходит два ребра (соединяется с вершинами A и B).
Вершина D имеет степень 1, так как из неё выходит одно ребро (соединяется с вершиной B).
Пример 2:
Дан граф с пятью вершинами:
Вершина A имеет степень 3, так как из неё выходит три ребра (соединяется с вершинами B, C и E).
Вершина B имеет степень 2, так как из неё выходит два ребра (соединяется с вершинами A и D).
Вершина C имеет степень 2, так как из неё выходит два ребра (соединяется с вершинами A и D).
Вершина D имеет степень 3, так как из неё выходит три ребра (соединяется с вершинами B, C и E).
Вершина E имеет степень 2, так как из неё выходит два ребра (соединяется с вершинами A и D).
Пример 3:
Дан граф с шестью вершинами:
Вершина A имеет степень 4, так как из неё выходит четыре ребра (соединяется с вершинами B, C, D и F).
Вершина B имеет степень 2, так как из неё выходит два ребра (соединяется с вершинами A и E).
Вершина C имеет степень 3, так как из неё выходит три ребра (соединяется с вершинами A, D и E).
Вершина D имеет степень 3, так как из неё выходит три ребра (соединяется с вершинами A, C и F).
Вершина E имеет степень 2, так как из неё выходит два ребра (соединяется с вершинами B и C).
Вершина F имеет степень 2, так как из неё выходит два ребра (соединяется с вершинами A и D).
Вопрос-ответ
Что означает понятие «степень вершины» в теории графов?
Степень вершины в теории графов это количество ребер, соединяющих данную вершину с другими вершинами.
Какие свойства имеет степень вершины в графе?
Вершина имеет степень 0, если она не соединена ни с одной другой вершиной; вершина имеет степень 1, если она соединена с одной другой вершиной; в случае если вершина связана с несколькими другими вершинами, ее степень будет равна количеству ребер, исходящих из данной вершины.
Можно ли привести примеры реальных объектов, где используется понятие степени вершины?
Да, например, при анализе социальных сетей можно использовать степень вершины для определения популярности или влиятельности человека. Чем больше друзей (связей) у человека, тем выше его степень вершины. Также степень вершины может использоваться при моделировании транспортной сети для определения загруженности или важности определенной точки соединения.