Что такое квадратичная функция 9 класс

Квадратичная функция – это функция вида f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c – это коэффициенты, а x – независимая переменная.

Основная особенность квадратичной функции состоит в том, что она имеет квадратный график, то есть график функции представляет собой параболу.

Коэффициент a определяет, как «широко» открыта парабола. Если a < 0, то парабола «открывается» вниз, а если a > 0, то она «открывается» вверх.

Коэффициенты b и c влияют на положение и форму параболы. Например, если b = 0, то парабола будет симметрична относительно оси y. Если c = 0, то парабола будет проходить через начало координат.

Основные понятия исследования квадратичных функций включают в себя: вычисление вершины параболы, определение направления открытия параболы, вычисление координат пересечения параболы с осями координат, анализ знаков и свойств функции.

Примеры квадратичных функций:

f(x) = x^2 – парабола с вершиной в начале координат, «открывается» вверх;
f(x) = -x^2 + 3x — 2 – парабола с вершиной ниже оси x, «открывается» вниз;
f(x) = 2x^2 — 5x + 1 – парабола с вершиной выше оси x, «открывается вверх;

Изучение и понимание квадратичных функций в 9 классе является важным шагом на пути к изучению дальнейшей математики и алгебры.

Основные понятия

Квадратичная функция – это функция, задаваемая уравнением вида:

y = ax^2 + bx + c

где a, b и c являются коэффициентами функции, а x – переменной. Основная особенность квадратичной функции заключается в том, что в ней переменная x возводится в квадрат.

Квадратичная функция может имеет различные геометрические формы графика в зависимости от значений коэффициентов a, b и c.

Вершина графика функции – это точка, в которой график меняет направление движения. Она также является точкой максимума или минимума функции, в зависимости от знака коэффициента a.

Ось симметрии графика функции – это вертикальная прямая, проходящая через вершину графика. Если коэффициенты b и c равны нулю, ось симметрии будет проходить через начало координат (0,0).

График квадратичной функции может быть открытым вверх, если коэффициент a больше нуля, или открытым вниз, если коэффициент a меньше нуля.

Парабола – это кривая, которая является графиком квадратичной функции.

Квадратное уравнение – это уравнение, задаваемое вида:

ax^2 + bx + c = 0

где a, b и c являются коэффициентами уравнения.

Решение квадратного уравнения – это значения переменной x, которые удовлетворяют уравнению и находятся в области определения функции.

Дискриминант – это выражение, которое вычисляется по формуле:

D = b^2 — 4ac

и является важным показателем для определения количества и характера решений квадратного уравнения.

Свойства и график

Квадратичная функция – это функция вида f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c – заданные числа, а x – переменная. Коэффициент a называется старшим коэффициентом квадратичной функции.

Свойства квадратичной функции:

Если a > 0, то график функции открывается вверх, а если a < 0, то график функции открывается вниз.
Вершина графика функции находится в точке с координатами x = -b/2a и y = f(-b/2a).
Если a > 0, то функция имеет минимум в вершине, а если a < 0, то функция имеет максимум в вершине.
График квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом a будет подниматься, а с отрицательным – опускаться.
Если a = 0, то это уже не квадратичная функция, а линейная, и график будет представлять собой прямую.

График квадратичной функции представляет собой параболу. Он может располагаться выше или ниже оси OX в зависимости от значения старшего коэффициента a.

Примеры графиков квадратичных функций:

При a > 0:

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	4	1	0	1	4

При a < 0:

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-4	-1	0	-1	-4

Из приведенных примеров видно, что график квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом a поднимается вверх, а с отрицательным – опускается. Также можно заметить, что вершина графика квадратичной функции находится в точке с наименьшим или наибольшим значением функции в зависимости от знака старшего коэффициента.

Примеры квадратичных функций

Квадратичные функции — это функции вида f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c — константы, а x — переменная.

Вот несколько примеров квадратичных функций:

f(x) = x^2 — это пример самой простой квадратичной функции. Она представляет собой параболу с вершиной в начале координат. График функции симметричен относительно оси OY и положительно направлен.
f(x) = -2x^2 + 3x — 1 — этот пример представляет собой параболу, которая открывается вниз. Коэффициент а равен -2, поэтому ветви параболы направлены вниз. Расположение вершины этой параболы зависит от значений коэффициентов b и c.
f(x) = 4x^2 — 2x + 5 — в этом примере коэффициент а равен 4, поэтому ветви параболы направлены вверх. Положение вершины зависит от значений коэффициентов b и c.
f(x) = -x^2 + 4 — этот пример представляет собой параболу, которая открывается вниз. Коэффициент а равен -1, поэтому ветви параболы направлены вниз. Расположение вершины этой параболы зависит от значения константы c.

Это только некоторые примеры квадратичных функций. Квадратичные функции имеют множество вариантов и форм, возможностей для исследования и применения.

Задачи на решение квадратичных уравнений

Квадратичные уравнения, в которых переменная встречается в квадрате, имеют много применений в реальной жизни. Их решение может помочь в решении различных задач, связанных с находжением точек пересечения графиков, определением времени падения тела и других задач, где зависимость является квадратичной.

Решение квадратичных уравнений осуществляется через выражение его в стандартной форме:

Если уравнение записано в виде ax² + bx + c = 0, где a, b и c — коэффициенты, то сначала следует проверить, что a ≠ 0.
Если a = 0, то уравнение является линейным, а не квадратичным.
Если a ≠ 0, то можно использовать формулу дискриминанта для определения количества решений:

Если дискриминант D = b² — 4ac > 0, то уравнение имеет два различных решения.
Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, которое является вещественным числом.
Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня.

После определения количества корней используется формула решения квадратного уравнения:

Если D > 0, то решения уравнения: x₁ = (-b + √D) / (2a) и x₂ = (-b — √D) / (2a).
Если D = 0, то решение уравнения: x = -b / (2a).
Если D < 0, то решения уравнения: x₁ = (-b + i√|D|) / (2a) и x₂ = (-b — i√|D|) / (2a), где i — мнимая единица.

Примеры задач на решение квадратичных уравнений:

Решить уравнение 2x² — 5x + 3 = 0.
Найти значения x, которые удовлетворяют уравнению x² — 9 = 0.
Определить значение параметра a, при котором уравнение ax² — 4x + 2 = 0 будет иметь два различных решения.

Решение этих задач требует применения формулы дискриминанта и формулы решения квадратного уравнения.

Вопрос-ответ

Что такое квадратичная функция?

Квадратичная функция — это функция вида f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c — это числа, a ≠ 0.

Как найти вершину квадратичной функции?

Вершина квадратичной функции может быть найдена с помощью формулы x = -b/2a, где b и a — это коэффициенты при x в исходной функции f(x).

Как определить направление выпуклости квадратичной функции?

Направление выпуклости квадратичной функции определяется знаком коэффициента a в исходной функции f(x). Если a > 0, то функция выпуклая вверх, если a < 0, то функция выпуклая вниз.

Как найти ось симметрии квадратичной функции?

Ось симметрии квадратичной функции проходит через вершину и является вертикальной линией. Она может быть найдена с помощью формулы x = -b/2a, где b и a — это коэффициенты при x в исходной функции f(x).

Какие примеры квадратичных функций можно привести?

Примерами квадратичных функций могут быть f(x) = x^2, f(x) = -2x^2 + 3x + 1, f(x) = 4x^2 — 2x — 5 и другие функции данного вида, где a, b и c — это числа, a ≠ 0.